hanyeah

一道数学题，已知xy=3，求x√(y/x)+y√(x/y)

老师是这么讲的

x√(y/x)+y√(x/y)

=x√(xy)/|x| + y√(xy)/|y|

当x、y均为正时，

=2√(xy)

=2√3

当x、y均为负时，

=-2√(xy)

=-2√3

这道题容易出错的地方在：

x√(y/x)+y√(x/y)

=√(xy)+√(xy)

=2√(xy)

=2√3

漏掉了一个答案。

我们的目的并不是要讲这道题怎么做，而是要分析对的为什么对，错的为什么错。

先看错误的推导过程。

推导过程不要跳步。

x√(y/x)+y√(x/y)  

=√x√x√(y/x) + √y√y√(x/y)    ①

=√x√x√y/√x + √y√y√x/√y    ②

=√x√y + √y√x                       ③

=√(xy)+√(xy)                         ④

=2√(xy)                                  ⑤

=2√3

到底是哪一步错了呢？

有朋友说x为负数时，√x不成立。对于一个学过复数的大学生来说，不管x是正还是负，√x都是成立的。朋友说，初高中没学复数，所以是不成立的。客观规律不会因为你没学过就不成立。

因为两个加数是一样的，所以我们只需要验证一半就够了，当然全验证也可以。

我们可以把x=1和x=-1带入进去进行验证。

x=1时，y=3，x√(y/x) = 1√(3/1)=√3；√x√x√(y/x)=√1√1√(3/1)=√3;成立

x=-1时，y=-3;x√(y/x) = -1√(-3/-1)=-√3；√x√x√(y/x)=√-1√-1√(-3/-1)=i*i*√3=-√3；成立

可以得到①是对的。

x=1时，√x√x√y/√x=√1√1√3/√1=√3；成立

x=-1时，√x√x√y/√x=√-1√-1√-3/√-1=i*i*(i * √3)/i=i*i*√3=-√3；成立

可以得到②是对的。

x=1时，√x√y=√1√3=√3；成立

x=-1时，√x√y=√-1√-3=i*i*√3=-√3；成立

可以得到③是对的。

x=1时，√(xy)=√(1*3)=√3；成立

x=-1时，√((-1)*(-3))=√3；不成立

可以得到④是对的。

也就是说√x√y=√(xy)这步推导是错的，当x、y是负数时不成立，同理√(y/x)=√y/√x也是不成立的。

为什么不成立，有什么深层的原理，我还不清楚，哪位大神指导，望不吝赐教。

对于正确的推导结果，我们来看一下。

推导过程不要跳步。

x√(y/x)+y√(x/y)

=x√(y*x/(x*x)) + y√(x*y/(y*y))

=x√(y*x)/√(x*x) + y√(x*y)/√(y*y)

=x√(xy)/|x| + y√(xy)/|y|

跟朋友讨论得到的结果是，初高中阶段，是基于这样的定理来推导的：1、必须保证根号下的数是非负的; 2、在1成立的前提下√x√y=√(xy)，√(y/x)=√y/√x是成立的；

所以，对于这类问题，一定要强调这两个定理，只要套用这两个定理，这类问题就不会出错。如果老师直接给讲结果，而不是强调基本的定理，学生最多只是学会这个题的解法，学生脑子里还是蒙的，甚至老师自己都是蒙的。

只讲解题技巧，不讲基本原理，就是舍本逐末了。我们现在学校和培训机构，这个问题普遍存在。