22
2021
06

关于数学题x^2+x+1=0的思考

题目:已知x^2+x+1=0,求x^2007。

网上好多人录视频,给出的解法是这样的:

=>(x-1)(x^2+x+1) = 0

=>x^3-1=0

=>x^3=1

=>x^2007 = (x^3)^669=1

感觉这种方法有点误人子弟。

1、必须知道x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),不知道的话,是想不到这种方法的;

2、必须确定x-1≠0,等式两边才能同时乘以x-1;

条件1,导致这种方法太难想到,不通用;条件2,导致不严谨,必须考虑;


有人提出下面这种方法:

首先确定x≠0,很好确定,反证法,先假设x=0,带进等式,发现等式不成立,即证。

等式两边同时乘以x,得到

x(x^2+x+1) = 0

=>x^3 + x^2 + x = 0

由原式x^2+x+1=0可以得到

=>x^2+x = -1

所以有

=>x^3 + (-1) = 0

=>x^3 = 1


这个方法好一点,但是也需要观察,两边同时乘以x才可以,这一步是很难想到的。


我们可以试试这么做。

由x^2+x+1=0,我们可以得到以下几个等式

x^2 + x = -1     ①

x^2 + 1 = -x     ②

x + 1 = -x^2     ③

其中①可以提取出x,得到

x(x + 1) = -1    ④

把③带入到 ④得到x(-x^2) = -1

=>x^3 = 1    ⑤

我们没有用到任何技巧,就是纯数学推导。我们用到了一个思想,就是把所有已知的条件,以及变化罗列出来,然后再组合,得到新的条件,最终得到结果。

中国古代的数学书(比如《九章算术》)就是这种思路,会把所有的可能情况都罗列出来,所有的变化都尝试一遍。有兴趣可以阅读以下,很有收获。


我们再换一种方式。

由x^2+x+1=0,可以得到

=> x^2 = -(x+1)

带入x^2007得到

x^2007 = x^2*x^2005

             =-(x + 1)*x^2005

             =-x^2006 - x^2005

可以得到x^n的递推公式

f(n) = -f(n-1) - f(n-2)

(我想到了菲波那切数列f(n) = f(n-1) + f(n-2),差了个负号。)

同样可以得到:x^3 = f(3) =-( x^2 + x) = 1

或者可以这样:

f(n) = -f(n-1) - f(n-2)

       =-(-f(n-2) - f(n-3)) - f(n-2)

       = f(n-2) + f(n-3) - f(n-2)

       = f(n-3)

=>x^2007 = x^3 = -(x^2 + x) = 1


还有最朴素的解法,先求出方程x^2+x+1=0的两个根,然后求x^2,x^3……直到x^2007。当然,算到3次方的时候,就发现x^3=1了。用到的都是基础知识,并不需要什么特殊的技巧。


现在很多老师讲题,不注重基础,过于注重技巧,学生解题出错,或者觉得难,解不出来,一般是因为老想着跳步,不愿意一步一步来。一步一步推导,一定不会出错,最后出错了,一定是哪一步推导出错了,很容易找到哪步错了,下次不再犯。而且很多时候,老师只告诉你对的,不告诉你错的,也不告诉你为什么对,为什么错。很多时候,发现悖论,解决悖论,然后就进步了,让学生只看到对的东西,认为隐藏了悖论,也不去思考,学生很难进步。



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