# 概述${^{[1]}}$

电网路方程一般以节点电位、支路电压或支路电流作为变量，电网络方程必须满足两类基本的约束条件：

（1）电路的支路电压和电流必须分别遵循基尔霍夫大电流定律KCL(Kirchhoff current law)和基尔霍夫电压定律KVL(Kirchhoff voltage law)的约束关系。

（2）电路的支路电流和支路电压之间必须遵循VCR(voltage current relationships)定律（即电压电流关系）的约束关系。

无论是频域分析还是时域分析，稳态分析还是瞬态分析，所列的方程都应遵循这两类约束。在第一类约束条件中，KCL定律反映各支路电流之间的关系，KVL定律反映各支路电压之间的关系。这些关系是由电路的拓扑形式决定的，与支路特性无关。在电路理论中，我们常用网络拓扑矩阵来表示KCL方程和KVL方程，即有

 $KCL: AI_{b} = 0$

 $KVL:A^{T} V_{n}=U_{b}$

其中，A为基本关联矩阵，它反映电网络中节点与支路之间的关系。$I_{b}$为支路电流向量，$U_{b}$为支路电压向量，$V_{n}$为节点电位向量。

## 表矩阵法${^{[1]}}$

KCL方程、KVL方程和VCR支路特性方程是描述电路拓扑即特性的三个基本方程。表矩阵法就是讲这三个基本方程组合在一起，形成一个大型的矩阵方程。它把支路电压、支路电流和节点电位都作为方程的变量，因而所形成的的方程阶数较高。其系数矩阵中非零元素稀少，故也称为稀疏表格法。这种列方程方法比较直观，步骤简单，易于实现。

表矩阵法列方程的步骤如下：

（1）由电路的拓扑信息建立其关联矩阵A。

（2）建立由关联矩阵A表示的KCL方程和KVL方程。

 $KCL方程： AI_{b} = 0$

 $KVL方程：A^{T} V_{n}-U_{b}=0$

 （3）建立各支路的特性方程。

 支路特性方程为：

 $Y_{b}U_{b}+Z_{b}I_{b}=W_{b}$

 其中，$Y_{b}$为支路导纳矩阵，$Z_{b}$为支路阻抗矩阵，$W_{b}$表示独立电压源、独立电流源以及初始条件对电容和电感的影响。

 **支路特性方程表：**(参见参考文献1)


将方程联立，写成矩阵形式：

$
\begin{bmatrix}
  I&  0& -A^{T}\\\\
 Y_{b}&  Z_{b}& 0\\\\
  0&  A& 0
\end{bmatrix}
$
$
\begin{bmatrix}
 U_{b}\\\\
 I_{b}\\\\
V_{v}
\end{bmatrix}
$
$=$
$
\begin{bmatrix}
 0\\\\
 W_{b}\\\\
0
\end{bmatrix}
$

这就是用表矩阵法列出的表矩阵方程组。如果电路网络中有n个独立节点，m条支路，则表矩阵方程是个（2m+n）×（2m+n）维的方程组。对多数电路，其支路数往往都大于甚至远大于节点数，因此表矩阵方程组的维数是很高的。可以看出，表矩阵方程组的系数矩阵中出了4个零元素的子阵外，$Y_{b}$、$Z_{b}$和单位阵都是大多数元素为0原色的子阵，因此系数矩阵是十分稀疏的矩阵。

# 列表法${^{[2]}}$

列表法采用一种新形式的支路方程。首先规定一个元件为一条支路（注意，列表法不采用复合之路定义），且用阻抗描述电阻或电感支路，用导纳描述电导或电容支路，即

对于电阻或电感支路有：$U_{k} = Z_{k}I_{k},Z_{k}=R_{k}或Z_{k}=jωL_{k}$

对于电导或电容支路有：$I_{k}=Y_{k}U_{k},Y_{k}=G_{k}或Y_{k}=jωC_{k}$

对于VCVS支路有：$U_{k}=μ_{kj}U_{j}$

对于VCCS支路有：$I_{k}=g_{kj}U_{j}$

对于CCVS之路有：$U_{k}=r_{kj}I_{j}$

对于CCCS之路有：$I_{k}=β_{kj}I_{j}$

另外，对于独立电压源支路，有$U_{k}=U_{sk}$。对于独立电流源支路，有有$I_{k}=I_{sk}$。对于整个电路可以写出如下形式的支路方程：

$FU+HI=U_{s}+I_{s}$

式中的$U=[U_{1},U_{2}...U_{b}]^{T}、I=[I_{1},I_{2}...I_{b}]^{T}$分别为待求的支路电压和支路电流列向量，F和H均为b阶方阵，U和I分别为b阶电压源列向量和电流源列向量。下面分几种情况讨论。

（1）当电路中无受控源，电感间无耦合时，F、H都是对角阵，它们的元素为：

若支路k为电导或电容支路，有

$F_{kk}=G_{k}或jωC_{k}，H_{kk}=-1$

若支路k为电阻或电感支路，有

$F_{kk}=-1，H_{kk}=R_{k}或jωL_{k}$

（2）当电路中有VCVS和VCCS；电感间无耦合时，F将是非对角阵，H仍为对角阵，它们的元素为：

若支路k为$U_{j}$控制的VCVS支路，有

$F_{kk}=+1，F_{kj}=-μ_{kj}，H_{kk}=0$

若支路k为$U_{j}$控制的VCCS支路，有

$F_{kk}=0，F_{kj}=-g_{kj}，H_{kk}=+1$

（3）当电路中有CCVS和CCCS，电感间无耦合时，F为对角阵，H将是非对角阵，它们的元素为：

若支路k为$I_{j}$控制的CCVS支路，有

$F_{kk}=+1，H_{kj}=-γ_{kj}，H_{kk}=0$

若支路k为$I_{j}$控制的CCCS支路，有

$F_{kk}=0，H_{kj}=-β_{kj}，H_{kk}=+1$

（4）当电路中电感间有耦合时，设支路k和支路j之间有耦合，因$U_{k}=jωL_{k}I_{k}±jωM_{kj}I_{j}，U_{j}=jωL_{j}I_{j}±jωM_{jk}I_{k}$，所以有

$F_{kk}=+1，H_{kk}=-jωL_{k}，H_{kj}=∓jωM_{kj}$

$F_{jj}=+1，H_{jj}=-jωL_{j}，H_{jk}=∓jωM_{jk}$

**（注：书上是这么写的，这里的符号应该是写反了，参照第一条，同样是k支路的电感，第一条中$F_{kk}$为-1，这里$F_{kk}$为+1，真正使用的时候这里会造成困扰）**

（5）当电路中含有理想变压器时，由于$U_{k}=nU_{j}，I_{j}=-nI_{k}$故有

$F_{kk}=+1，H_{kk}=0，F_{kj}=-n$

$F_{jj}=0，H_{jj}=+1，H_{jk}=n$

另外,若支路k为独立电压源支路，有

$F_{kk}=+1，H_{kk}=0$

若支路k为地理电流源支路，有

$F_{kk}=0，H_{kk}=+1$

节点列表方程矩阵形式的推导。

$KCL：AI=0$

$KVL：U-A^{T}U_{n}=0$

$VCR：FU+HI=U_{s}+I_{s}$

写成矩阵形式

$
\begin{bmatrix}
  0&  0& A\\\\
 -A^{T}&  I& 0\\\\
  0&  F& H
\end{bmatrix}
$
$
\begin{bmatrix}
 U_{n}\\\\
 U\\\\
I
\end{bmatrix}
$
$=$
$
\begin{bmatrix}
 0\\\\
 0\\\\
U_{s}+I_{s}
\end{bmatrix}
$

上式中，I为b阶单位矩阵，A为（n-1）×b阶矩阵，F和H为b阶方阵，故方程总数为（2b+n-1）。（b为支路数，n为节点数）

# 关联矩阵${^{[2]}}$

设一条支路连接于某两个节点，则称该支路与这两个节点相关联。支路与节点的关联性质可以用关联矩阵描述。设有向图的节点数为n，支路数为b，且所有节点与支路均加以编号。于是，该有向图的关联矩阵为一个（n×b）的矩阵，用A表示。它的行对应节点，列对应支路，它的任一元素$a_{jk}$定义如下：

$a_{jk}=+1$，表示支路k与节点j关联并且它的方向背离节点；

$a_{jk}=-1$，表示支路k与节点j关联并且它的方向指向节点；

$a_{jk}=0$，表示支路k与节点j无关联。

A的每一列对应一条支路。由于一条支路连接于两个节点，若离开一个节点，则必指向另一个节点，因此每一列中只有两个非零元素，及+1和-1。当把所有行的元素按列相加就得到一行全为零的元素，所以A的行不是彼此独立的。或者说按A的每一列只有+1和-1两个非零元素这一特点，A中的任一行必能从其他（n-1）行导出。

如果把A的任一行划去，剩下的（n-1）×b矩阵成为降阶关联矩阵（平时用到的都是这种降阶关联矩阵，所往往略去降阶二字）。被划去的行对应的节点可以作为参考节点。

# 为什么选择列表法

上面介绍的“表矩阵法”和“列表法”其实原理是完全一样的，只是具体实施上有细微差别。参考文献1在原理上讲的更清晰，推荐阅读，参考文献2在具体实现上，写的更详细，更容易实施，所以我们最终使用的是参考文献2中的“列表法”。

书上还讲了许多其它方法：比如回路电流法、节点电压法、割集电压法、改进节点法、双图法等。

相对于其它方法，列表法的缺点是：矩阵维数大，导致计算量大，效率低；优点是：列写方程简单，计算过程简单，可以直接求出所有未知量，支路电压、节点电压、支路电流，适应性强。

我们不做大规模电路计算，所以列表法效率足够，不会造成瓶颈，加上实现简单，适应性强，所以，我们最终选择使用列表法。

# 参考文献：

【1】 汪蕙. 电子电路的计算机辅助分析与设计方法. 北京：清华大学出版社 12-14

【2】邱关源. 电路. 北京：高等教育出版社,2006.5. 409-411,391-392